Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t$

Passaggio 1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ per $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Passaggio 2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ per $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Passaggio 2.2

Eleva $\sqrt{4 + e^{t}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Passaggio 2.3

Eleva $\sqrt{4 + e^{t}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} {\sqrt{4 + e^{t}}}^{1}} d t]$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1 + 1}} d t]$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}} d t]$

Passaggio 2.6

Riscrivi ${\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}$ come $4 + e^{t}$ .

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Passaggio 2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 + e^{t}}$ come ${(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{({(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Passaggio 2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Passaggio 2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Passaggio 2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Passaggio 2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{1}} d t]$

Passaggio 2.6.5

Semplifica.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t]$

Passaggio 3

Trova la derivata di $\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo e la regola della catena.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Passaggio 5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Passaggio 6

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (4 + x)}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot 4 + x \cdot x}$

Passaggio 8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.2.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 \cdot x + x \cdot x}$

Passaggio 8.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x}$

Passaggio 8.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x^{1}}$

Passaggio 8.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1 + 1}}$

Passaggio 8.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{2}}$

Passaggio 8.3

Riordina i termini.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x^{2} + 4 x}$

Passaggio 8.4

Scomponi $x$ da $x^{2} + 4 x$ .

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Passaggio 8.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + 4 x}$

Passaggio 8.4.2

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + x \cdot 4}$

Passaggio 8.4.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (x + 4)}$