Calcolo Esempi

$\int \frac{\tan (11 \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u = \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $- d u = \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$11 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 2.1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$11 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.1.10

$11$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{11 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.1.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{2}{11} \tan (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{11}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{2}{11}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{11} \int \tan (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{2}{11} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (u) |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (11 x^{\frac{1}{2}}) |) + C$