Calcolo Esempi

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 6 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 6 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $6 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $36$ da $36$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $36$ da $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $36$ da $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $36 \cos^{2} (t)$ come ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $6 \cos (t)$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (t)$ rispetto a $t$ è $- \cos (t)$ .

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $- \cos (t)$ per $\frac{π}{6}$ e per $0$ .

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Passaggio 5.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Forma decimale:

$0.80384757 \dots$