Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Passaggio 1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Passaggio 1.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Passaggio 4.2.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0$

Passaggio 4.2.9

Somma $\frac{2}{3}$ e $0$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{6}$