Calcolo Esempi

$\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 3.10

$- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

Passaggio 3.11

$\frac{- 2}{4}$ e $x^{- 3}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

Passaggio 3.12

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

Passaggio 3.13

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

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Passaggio 3.13.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

Passaggio 3.13.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.13.2.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

Passaggio 3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

Passaggio 3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

Passaggio 3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 x^{- 2} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$