Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

$\sin (\frac{1}{θ})$ e $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Passaggio 1.2

$\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ e $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Allora $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ , quindi $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = \frac{1}{θ}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1}{θ}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{θ}$ come $θ^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

Passaggio 2.1.4.2

$\cos (\frac{1}{θ})$ e $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 5

Riscrivi $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$