Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Passaggio 5

Sia $u = 6 x + 3$ . Allora $d u = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 6 x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $6 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $6$ e $0$ .

$6$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

Passaggio 6

$\sin (u)$ e $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{6}$ e $2$ .

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

Passaggio 10

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2.2

$- 4$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

Passaggio 12.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Passaggio 12.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Passaggio 12.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

Passaggio 12.2.3.2.4

Dividi $- 2 x^{2}$ per $1$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x + 3$ .

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$