Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} {(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (1 + 5 e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 5 e^{x})}{lim_{x \to \infty} x}}$

Passaggio 3.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Passaggio 3.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + 5 e^{x}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \cdot 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7

$5$ e $\frac{1}{1 + 5 e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.8

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.9

$\frac{5}{1 + 5 e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{1 + 5 e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.10

Riordina i termini.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{5 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Passaggio 5.1.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Passaggio 5.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 5.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 5.1.3.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $5$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 5.1.3.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $5$ rimosso.

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 5.1.3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Passaggio 5.1.3.4

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 5.1.3.5

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Passaggio 5.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 5.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 5.3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 5.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 0}}$

Passaggio 5.3.6

Somma $5 e^{x}$ e $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 5.4.1

Elimina il fattore comune.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Calcola il limite di $\frac{1}{5}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Passaggio 6.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Passaggio 6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica.

$e$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e$

Forma decimale:

$2.71828182 \dots$