Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t_{1}$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

Passaggio 2

Sia $u = - s t$ . Allora $d u = - s d t$ , quindi $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = - s t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- s$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- s t$ rispetto a $t$ è $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- s$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = - s t$ .

$u_{lower} = - s \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- s \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$u_{lower} = 0 s$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $0$ per $s$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = - s t$ .

$u_{upper} = - s t_{1}$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{s}$ e $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{s}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{s}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

Passaggio 7

$e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ e $\frac{1}{s}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $e^{u}$ per $- s t_{1}$ e per $0$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t_{1}$ .

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Passaggio 9.1.2

Sposta il termine $\frac{1}{s}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t_{1}$ .

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

Passaggio 9.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t_{1}$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Passaggio 9.2

Poiché l'esponente $- s t_{1}$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- s t_{1}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Passaggio 9.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t_{1}$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 9.3.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

Passaggio 9.3.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

Passaggio 9.3.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{s} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{s}$

Passaggio 9.3.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{s}$ per $1$ .

$\frac{1}{s}$