Calcolo Esempi

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Passaggio 5

Sia $u = y + 8$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = y + 8$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $y + 8$ .

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 8$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $8$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $y$ in $u = y + 8$ .

$u_{lower} = - 7 + 8$

Passaggio 5.3

Somma $- 7$ e $8$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $y$ in $u = y + 8$ .

$u_{upper} = 0 + 8$

Passaggio 5.5

Somma $0$ e $8$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{1}{2} y^{2}$ per $0$ e per $- 7$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Passaggio 8.2

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $8$ e per $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.4

Moltiplica $49$ per $- 1$ .

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.5

$- 49$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.7

Sottrai $\frac{49}{2}$ da $0$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $7$ per $2$ .

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.10

Elimina il fattore comune di $49$ e $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Scomponi $7$ da $49$ .

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.10.2.1

Scomponi $7$ da $14$ .

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.11

$\frac{2}{3}$ e $8^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.12

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.13

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 8.3.13.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.13.2

Moltiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.2.1

$3$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.13.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.15

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.17

Somma $2$ e $9$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 8.3.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 8.3.19

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 8.3.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Passaggio 8.3.21

Per scrivere $- \frac{7}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Passaggio 8.3.22

Per scrivere $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.3.23

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.3.23.1

Moltiplica $\frac{7}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.3.23.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.3.23.3

Moltiplica $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.23.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Passaggio 8.3.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Passaggio 8.3.25

Moltiplica $- 7$ per $3$ .

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Passaggio 8.3.26

Sposta $2$ alla sinistra di $2^{\frac{11}{2}} - 2$ .

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- 21$ come $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Passaggio 9.2

Scomponi $- 1$ da $2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Passaggio 9.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Passaggio 9.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ .

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Passaggio 10.2.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 10.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 10.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 10.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 10.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 10.2.6

Somma $2$ e $11$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

Passaggio 10.4

Somma $21$ e $4$ .

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Forma decimale:

$10.91827799 \dots$

Passaggio 12