Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x^{- 1} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4}{3} - \frac{1}{2} x^{- 1} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - \frac{1}{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2}) x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{1}{2}$ e $x^{- 2}$ .

$0 + \frac{x^{- 2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.2.6

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.3.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.3.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.3.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.3.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Passaggio 1.4.3

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Passaggio 1.4.4

$\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $0$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.3

$2$ e $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.5

$\frac{6}{2}$ e $x$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.2.6.2.4

Dividi $3 x$ per $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 2.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 2.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 2.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 2.3.10

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2}{2} x^{- 3}$

Passaggio 2.3.11

$\frac{- 2}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2 x^{- 3}}{2}$

Passaggio 2.3.12

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2}{2 x^{3}}$

Passaggio 2.3.13

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{3}}$

Passaggio 2.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{3})}$

Passaggio 2.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{3}}$

Passaggio 2.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 3 x - \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 3 x - \frac{1}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$6 x + 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x + 3 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 x + 3 - \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$6 x + 3 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 x + 3 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x + 3 - (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$6 x + 3 - (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 x + 3 - (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Sposta $x^{2}$ .

$6 x + 3 - (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.4.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x + 3 - (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.4.8.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$6 x + 3 - (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$6 x + 3 + 3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Passaggio 3.4.10

Moltiplica $\frac{1}{x^{3}}$ per $0$ .

$6 x + 3 + 3 x^{- 4} + 0$

Passaggio 3.4.11

Somma $3 x^{- 4}$ e $0$ .

$6 x + 3 + 3 x^{- 4}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + 3 + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.2

$3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$6 x + 3 + \frac{3}{x^{4}}$

Passaggio 3.5.3

Riordina i termini.

$f''' (x) = 6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$ .

$6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$