Calcolo Esempi

$x \ln (x + 1)$

Passaggio 1

Scrivi $x \ln (x + 1)$ come funzione.

$f (x) = x \ln (x + 1)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x \ln (x + 1) d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x + 1)$ e $d v = x$ .

$\ln (x + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (x + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 5.2

$\ln (x + 1)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 7

$x^{2}$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Passaggio 8

Dividi $x^{2}$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 8.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Passaggio 8.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 8.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 8.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Passaggio 8.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Passaggio 8.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Passaggio 8.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Passaggio 8.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Passaggio 8.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Passaggio 8.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Passaggio 12

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 12.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 12.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 12.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 12.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 12.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Passaggio 14.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Passaggio 14.2.2

$\frac{\ln (x + 1)}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Passaggio 14.2.3

Per scrivere $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 14.2.4

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 14.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 14.2.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 14.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 14.2.8

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 14.2.9

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 14.2.9.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 14.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.2.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 14.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 14.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 14.2.9.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Per scrivere $\ln (| x + 1 |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Passaggio 16.2

$\ln (| x + 1 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Passaggio 16.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Passaggio 16.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (| x + 1 |)$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

Passaggio 16.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Passaggio 16.6

Moltiplica $- - x$ .

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Passaggio 16.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Passaggio 16.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x \ln (x + 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$