Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ è positivo.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.2

$\frac{\tan (t)}{2}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ per $1$ .

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ per $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

Passaggio 2.2.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.8

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Passaggio 2.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Passaggio 2.2.9

Riscrivi $\tan (t)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 2.2.10

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Passaggio 2.2.12

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.12.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Passaggio 2.2.12.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Passaggio 2.2.13

Converti da $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Passaggio 3

L'integrale di $\csc (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (2 x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$