Calcolo Esempi

$y = x + \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x + \frac{1}{x})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{1}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = 1$ e $g (y) = x$ .

$x' + \frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $x$ per $0$ .

$x' + \frac{0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x' + \frac{0 - x'}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Sottrai $x'$ da $0$ .

$x' + \frac{- x'}{x^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' - \frac{x'}{x^{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$- \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = - \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ per $x^{2}$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x'}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- x' + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- x' + x' x^{2} = x^{2}$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $x'$ da $- x' + x' x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $x'$ da $- x'$ .

$x' \cdot - 1 + x' x^{2} = x^{2}$

Passaggio 5.4.1.2

Scomponi $x'$ da $x' x^{2}$ .

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2}) = x^{2}$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $x'$ da $x' \cdot - 1 + x' (x^{2})$ .

$x' (- 1 + x^{2}) = x^{2}$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x' (- 1^{2} + x^{2}) = x^{2}$

Passaggio 5.4.3

Riordina $- 1^{2}$ e $x^{2}$ .

$x' (x^{2} - 1^{2}) = x^{2}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi.

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Passaggio 5.4.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$x' ((x + 1) (x - 1)) = x^{2}$

Passaggio 5.4.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$

Passaggio 5.4.5

Dividi per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Dividi per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ .

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.4.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.4.5.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.4.5.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$