Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.6.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 3 x^{- 4} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.8

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 2 x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + x^{- 2} + 2 x$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Passaggio 5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.3.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Passaggio 5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$2 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$