Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (1 + \arctan (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1.2.4.1

Calcola il limite di $\arctan (x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \arctan (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.2.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \arctan (x)$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $\frac{1}{1 + \arctan (x)}$ per $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Passaggio 4.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Passaggio 4.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Passaggio 4.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Passaggio 4.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Passaggio 4.8

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $\arctan (x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + \arctan (0)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Passaggio 5.2

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + 0^{2})}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{1}{1 (1 + 0^{2})}}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $1 + 0^{2}$ per $1$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0^{2}}}$

Passaggio 6.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Passaggio 6.1.4

Somma $1$ e $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Passaggio 6.2

Dividi $1$ per $1$ .

$e^{1}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$e$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e$

Forma decimale:

$2.71828182 \dots$