Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin^{2} (u_{1})$ .

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 11

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 14

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 14.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 14.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 14.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 15

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 16

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 17

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 18

Semplifica.

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 19

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 19.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 19.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Passaggio 19.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Passaggio 20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Passaggio 20.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

Passaggio 20.1.2

$\sin (x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Passaggio 20.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Passaggio 20.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 20.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Passaggio 20.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Passaggio 20.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 20.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sin (x)}{2}$ nel numeratore.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Passaggio 20.4.2

Elimina il fattore comune.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Passaggio 20.4.3

Riscrivi l'espressione.

$x - \sin (x) + C$

Passaggio 21

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$