Calcolo Esempi

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Calcola $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ per $27$ e per $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Passaggio 6.1.2

Calcola $\ln (| x |)$ per $27$ e per $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.5

$\frac{3}{4}$ e $81$ .

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.6

Moltiplica $3$ per $81$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.10

Sottrai $3$ da $243$ .

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.11

Elimina il fattore comune di $240$ e $4$ .

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Passaggio 6.1.3.11.1

Scomponi $4$ da $240$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.11.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.1.3.11.2.4

Dividi $60$ per $1$ .

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 6.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $27$ è $27$ .

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

Passaggio 6.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

Passaggio 6.3.3

Dividi $27$ per $1$ .

$60 - \ln (27)$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\ln (27)$ come $\ln (3^{3})$ .

$60 - \ln (3^{3})$

Passaggio 7.2

Espandi $\ln (3^{3})$ spostando $3$ fuori dal logaritmo.

$60 - (3 \ln (3))$

Passaggio 7.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$60 - 3 \ln (3)$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$60 - 3 \ln (3)$

Forma decimale:

$56.70416313 \dots$

Passaggio 9