Calcolo Esempi

$\sqrt{x} e^{- x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11

$e^{- x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 12.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2

Riordina i termini.

$- e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$