Calcolo Esempi

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (a^{3} y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (2 a^{2} - x^{2}))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $a^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a^{3} y$ rispetto a $x$ è $a^{3} \frac{d}{d x} [y]$ .

$a^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$a^{3} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 a^{2} - x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 a^{2} - x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 a^{2} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $2 a^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 a^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- (2 x)) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} (- 2 x) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) (2 x)$

Passaggio 3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $2 a^{2} - x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 2 \cdot (2 a^{2} - x^{2}) x$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x^{3} + (2 (2 a^{2}) + 2 (- x^{2})) x$

Passaggio 3.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 x^{3} + 2 (2 a^{2}) x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 3.7.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x$

Passaggio 3.7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{2} x$

Passaggio 3.7.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 (x^{1} x^{2})$

Passaggio 3.7.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{1 + 2}$

Passaggio 3.7.3.5

Somma $1$ e $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{3}$

Passaggio 3.7.3.6

Sottrai $2 x^{3}$ da $- 2 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Passaggio 5

Dividi per $a^{3}$ ciascun termine in $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $a^{3}$ ciascun termine in $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ .

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $a^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Passaggio 5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $a^{2}$ e $a^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Scomponi $a^{2}$ da $4 a^{2} x$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{3}}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.2.1

Scomponi $a^{2}$ da $a^{3}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Passaggio 5.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Passaggio 5.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$