Calcolo Esempi

$\ln (\frac{2 x - 1}{x - 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x - 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ .

$1 \frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x - 1}{2 x - 1}$ per $1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 \cdot (x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.10.3

Moltiplica $\frac{x - 1}{2 x - 1}$ per $\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x - 1$ da $(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.3.2

Combina i termini opposti in $2 x - 2 - 2 x + 1$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{0 - 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.3.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{- 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.3.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{- 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{(2 x - 1) (x - 1)}$