Calcolo Esempi

$\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$

Passaggio 1

Poiché

$\frac{1}{3}$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$\frac{\sin (x^{2})}{3 x}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

$f (x) = \sin (x^{2})$ e

$g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = \sin (x)$ e

$g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

La derivata di

$\sin (u)$ rispetto a

$u$ è

$\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\cos (x^{2}) (2 x)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Sposta

$2$ alla sinistra di

$\cos (x^{2})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica

$\frac{1}{3}$ per

$\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 \cos (x^{2})) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$

Passaggio 10.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} \cos (x^{2}) - \sin (x^{2})}{3 x^{2}}$