Calcolo Esempi

$x + 2 x y - y^{2} = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x + 2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 x y - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x' + 2 (x + y x') - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x' + 2 (x + y x') - (2 y)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x' + 2 (x + y x') - 2 y$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x' + 2 x + 2 (y x') - 2 y$

Passaggio 2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x' + 2 x + 2 y x' - 2 y$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x'$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y x' - 2 y + x' = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y x' + x' = - 2 x + 2 y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x'$ da $2 y x' + x'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x'$ da $2 y x'$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Passaggio 5.2.2

Eleva $x'$ alla potenza di $1$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x'$ da ${x'}^{1}$ .

$x' (2 y) + x' \cdot 1 = - 2 x + 2 y$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $x'$ da $x' (2 y) + x' \cdot 1$ .

$x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 y + 1$ ciascun termine in $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 y + 1$ ciascun termine in $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ .

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- 2 x + 2 y}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 2 x + 2 y$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 y}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 (y)}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (y)$ .

$x' = \frac{2 (- x + y)}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$x' = \frac{2 (- (x) + y)}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$x' = \frac{2 (- (x) - 1 (- y))}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- y)$ .

$x' = \frac{2 (- (x - y))}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.6.1

Riscrivi $- (x - y)$ come $- 1 (x - y)$ .

$x' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{2 y + 1}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$