Calcolo Esempi

$y = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2 x}{3})]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin (\frac{2 x}{3})$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3})]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3})]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{2 x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x}{3}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Passaggio 1.2.3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$0 - 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x}{3}$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Passaggio 1.2.4

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \cdot 1))$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) \frac{2}{3})$

Passaggio 1.2.7

$\cos (\frac{2 x}{3})$ e $\frac{2}{3}$ .

$0 - 3 \frac{\cos (\frac{2 x}{3}) \cdot 2}{3}$

Passaggio 1.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (\frac{2 x}{3})$ .

$0 - 3 \frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$

Passaggio 1.2.9

$- 3$ e $\frac{2 \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$ .

$0 + \frac{- 3 (2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3}$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$0 + \frac{- 6 \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$

Passaggio 1.2.11

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Scomponi $3$ da $- 6 \cos (\frac{2 x}{3})$ .

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3}$

Passaggio 1.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3 (1)}$

Passaggio 1.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{1}$

Passaggio 1.2.11.2.4

Dividi $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ per $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{2 x}{3})$

Passaggio 1.3

Sottrai $2 \cos (\frac{2 x}{3})$ da $0$ .

$- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 x}{3})]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos (\frac{2 x}{3})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{2 x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x}{3}$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{2 x}{3})$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x}{3}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{2 x}{3})$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}))$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sin (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.3.3

$\frac{4}{3}$ e $\sin (\frac{2 x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $\frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\cos (\frac{2 x}{3})$ per $1$ .

$\cos (\frac{2 x}{3}) = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 2$ .

$\cos (\frac{2 x}{3}) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{2 x}{3} = \arccos (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Semplifica $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 8.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 9

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{2 x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 10.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Semplifica $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 10.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 10.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 10.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 10.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica $\frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 10.2.2.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 10.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.2.2.1.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x = \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.2.2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{9 π}{4}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{9 π}{4}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})}{3}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$2$ e $\frac{3 π}{4}$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 13.3

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 13.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Passaggio 13.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Passaggio 13.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{3}$

Passaggio 13.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Passaggio 13.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Passaggio 13.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Passaggio 13.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Passaggio 13.4.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3}$

Passaggio 13.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4}{3}$

Passaggio 14

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot (\frac{3 π}{4}))$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 (2)})$

Passaggio 15.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 15.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2})$

Passaggio 15.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2})$

Passaggio 15.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2})$

Passaggio 15.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 15.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \cdot 1$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{9 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})}{3}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

$2$ e $\frac{9 π}{4}$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 17.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 17.3

Riduci l'espressione $\frac{18 π}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Scomponi $2$ da $18 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Passaggio 17.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Passaggio 17.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Passaggio 17.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{3}$

Passaggio 17.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{4 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Passaggio 17.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.2.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Passaggio 17.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Passaggio 17.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Passaggio 17.4.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{4 (- \sin (\frac{π}{2}))}{3}$

Passaggio 17.4.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{4 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Passaggio 17.4.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 17.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 4}{3}$

Passaggio 17.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{3}$

Passaggio 18

$x = \frac{9 π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{9 π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \frac{9 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot (\frac{9 π}{4}))$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{9 π}{2 (2)})$

Passaggio 19.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{9 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 19.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{9 π}{2})$

Passaggio 19.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2})$

Passaggio 19.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2})$

Passaggio 19.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 19.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 19.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 19.2.1.5

Moltiplica $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \cdot - 1$

Passaggio 19.2.1.5.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 + 3$

Passaggio 19.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 4$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$ .

$(\frac{3 π}{4}, - 2)$ è un minimo locale

$(\frac{9 π}{4}, 4)$ è un massimo locale

Passaggio 21