Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$0 + \frac{1}{3} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.2.3

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{5}{3} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{5}{3}$ e $x^{4}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{3} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.3.4

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.3.5

$\frac{- 2}{3}$ e $x$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $\frac{5}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{9} x$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $\frac{5}{9}$ per $1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $\frac{5 x^{4}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{4}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Passaggio 2.2.3

$4$ e $\frac{5}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Passaggio 2.2.5

$\frac{20}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $\frac{5}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{9}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{20}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{20 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{20}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2.3

$3$ e $\frac{20}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $3$ per $20$ .

$\frac{60}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2.5

$\frac{60}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{60 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2.6

Elimina il fattore comune di $60$ e $3$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Scomponi $3$ da $60 x^{2}$ .

$\frac{3 (20 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{20 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.2.6.2.4

Dividi $20 x^{2}$ per $1$ .

$20 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{2} + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $20 x^{2}$ e $0$ .

$f''' (x) = 20 x^{2}$