Calcolo Esempi

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Dividi $4 x - 1$ per $1$ .

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune di ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Passaggio 4.1.5.2

Elimina il fattore comune di ${(2 x - 1)}^{2}$ e $2 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1

Scomponi $2 x - 1$ da $(B) {(2 x - 1)}^{2}$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

Passaggio 4.1.5.2.2.4

Dividi $B (2 x - 1)$ per $1$ .

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

Passaggio 4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Passaggio 4.1.5.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

Passaggio 4.1.5.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

Passaggio 4.1.5.6

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

Passaggio 4.1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Sposta $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

Passaggio 4.1.6.2

Riordina $A$ e $2 x B$ .

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = 2 B$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 4.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Risolvi per $B$ in $4 = 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $2 B = 4$ .

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 4.3.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 4$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 4.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 4.3.1.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 4.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $- 1 = A - 1 B$ con $2$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $A$ in $- 1 = A - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A - 2 = - 1$ .

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

Passaggio 4.3.3.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Passaggio 4.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = 1 B = 2$

Passaggio 4.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = 2$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

Passaggio 4.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = 2 x - 1$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 6.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 7.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 9.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Passaggio 11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Passaggio 12

Sia $u_{2} = 2 x - 1$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia $u_{2} = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 12.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 12.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 12.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 13.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 15.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 15.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 16

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 17.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 18

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 18.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Passaggio 19

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$