Calcolo Esempi

$y^{2} + 3 x^{2} = y^{3} - x^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2} + 3 x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3} - x^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y y' + 3 (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 y y' + 6 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 y^{2} y' - (3 x^{2})$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 y^{2} y' - 3 x^{2}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 6 x = - 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $3 y^{2} y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' + 6 x - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.2

Sottrai $6 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5.3

Scomponi $y y'$ da $2 y y' - 3 y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y y'$ da $2 y y'$ .

$y y' \cdot 2 - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y y'$ da $- 3 y^{2} y'$ .

$y y' \cdot 2 + y y' (- 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y y'$ da $y y' \cdot 2 + y y' (- 3 y)$ .

$y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5.4

Dividi per $y (2 - 3 y)$ ciascun termine in $y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $y (2 - 3 y)$ ciascun termine in $y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$ .

$\frac{y y' (2 - 3 y)}{y (2 - 3 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (2 - 3 y)}{y (2 - 3 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 - 3 y)}{2 - 3 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2 - 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 - 3 y)}{2 - 3 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} - \frac{6 x}{y (2 - 3 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} - \frac{6 x}{y (2 - 3 y)}$