Calcolo Esempi

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ come funzione.

$f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Dividi $7 x^{4} + 5$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 4.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 4.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Passaggio 4.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x^{4} + 0 + 7 x^{2}$

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Passaggio 4.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Passaggio 4.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 4.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 7 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 4.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Passaggio 4.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 7 x^{2} + 0 - 7$

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Passaggio 4.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

$12$

Passaggio 4.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 7 x^{2} - 7 + \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 7 x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$7 \int x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 10

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 11.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 (\arctan (x) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica.

$\frac{7 x^{3}}{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Passaggio 13.2

Riordina i termini.

$\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$