Calcolo Esempi

$\int e^{2 x} \sin (x) d x$

Passaggio 1

Riordina $e^{2 x}$ e $\sin (x)$ .

$\int \sin (x) e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Passaggio 4.2

$\sin (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{2 x}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2} \cdot - 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2} \cdot - 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Passaggio 7.2

$\cos (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Passaggio 7.6

Moltiplica.

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Passaggio 7.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 7.6.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Passaggio 7.7

Moltiplica $\frac{- 1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Passaggio 7.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Passaggio 8

Risolvendo $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ , troviamo che $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{5}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ come $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ .

$(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Passaggio 9.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (x)$ .

$(\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Passaggio 9.1.3.2

$\frac{\sin (x)}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Passaggio 9.1.3.3

$\cos (x)$ e $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Passaggio 9.1.3.4

$e^{2 x}$ e $\frac{\cos (x)}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

Passaggio 9.1.4

Riordina i fattori in $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi $(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$ come $(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ .

$(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Passaggio 9.3

Riordina i fattori in $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$