Calcolo Esempi

$\int x^{3} e^{6 x^{4}} \sqrt{{(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{5}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Allora $d u_{2} = 48 x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ , quindi $\frac{1}{48} d u_{2} = x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{6 x^{4}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{6 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x^{4}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x^{4}$ .

$2 (e^{6 x^{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 (4 x^{3}))) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $4$ per $6$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (24 x^{3})) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica $24$ per $2$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + 0$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Somma $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ e $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$

Passaggio 1.1.5.2

Riordina i fattori in $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ .

$48 x^{3} e^{6 x^{4}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{{u_{2}}^{5}} \frac{1}{48} d u_{2}$

Passaggio 2

$\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ e $\frac{1}{48}$ .

$\int \frac{\sqrt{{u_{2}}^{5}}}{48} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{48}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{48}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{48} \int \sqrt{{u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ come ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{48} \int {u_{2}}^{\frac{5}{2}} d u_{2}$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$ come $\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{48}$ per $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{48 \cdot 7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $48$ per $7$ .

$\frac{2}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $336$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $336$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{168} {(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{\frac{7}{2}} + C$