Calcolo Esempi

$\int 2 \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = \sin (2 x)$ . Allora $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = \sin (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \sqrt[3]{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

$\sqrt[3]{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[3]{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (2 x)$ .

$\frac{3}{4} {\sin (2 x)}^{\frac{4}{3}} + C$