Calcolo Esempi

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $300$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $300 t e^{- 2.5 t}$ rispetto a $t$ è $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 2.5 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2.5 t$ .

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2.5 t$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 2.5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2.5 t$ rispetto a $t$ è $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $- 2.5$ per $1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta $- 2.5$ alla sinistra di $e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica $e^{- 2.5 t}$ per $1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 2.5$ per $300$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 1.5.4

Riordina i fattori in $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}] + \frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = \frac{d}{d t} (- 750 t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 750$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 750 t e^{- 2.5 t}$ rispetto a $t$ è $- 750 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = - 750 \frac{d}{d t} (t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 2.5 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 2.5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2.5 t$ rispetto a $t$ è $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 2.5$ per $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.8

Sposta $- 2.5$ alla sinistra di $e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $e^{- 2.5 t}$ per $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $300$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $300 e^{- 2.5 t}$ rispetto a $t$ è $300 \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 2.5 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 2.5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2.5 t$ rispetto a $t$ è $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 2.5$ per $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $- 2.5$ alla sinistra di $e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 2.5$ per $300$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) - 750 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $- 2.5$ per $- 750$ .

$A'' (t) = 1875 (t (e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $750 e^{- 2.5 t}$ da $- 750 e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$A'' (t) = 1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i fattori in $1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $300$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $300 t e^{- 2.5 t}$ rispetto a $t$ è $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 2.5 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2.5 t$ .

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2.5 t$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 2.5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2.5 t$ rispetto a $t$ è $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.1

Moltiplica $- 2.5$ per $1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.1.4.3.2

Sposta $- 2.5$ alla sinistra di $e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.4.5

Moltiplica $e^{- 2.5 t}$ per $1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 4.1.5.2

Moltiplica $- 2.5$ per $300$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 4.1.5.3

Riordina i termini.

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 4.1.5.4

Riordina i fattori in $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$f' (t) = - 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $A (t)$ rispetto a $t$ è $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $150 e^{- 2.5 t}$ da $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $150 e^{- 2.5 t}$ da $- 750 t e^{- 2.5 t}$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $150 e^{- 2.5 t}$ da $300 e^{- 2.5 t}$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $150 e^{- 2.5 t}$ da $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2)$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- 2.5 t} = 0$

$- 5 t + 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{- 2.5 t}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{- 2.5 t}$ uguale a $0$ .

$e^{- 2.5 t} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{- 2.5 t} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 2.5 t}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 2.5 t} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $- 5 t + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $- 5 t + 2$ uguale a $0$ .

$- 5 t + 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $- 5 t + 2 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 t = - 2$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 t = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 t = - 2$ .

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{- 2}{- 5}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$t = \frac{2}{5}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$ vera.

$t = \frac{2}{5}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = \frac{2}{5}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{2}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$1875 (\frac{2}{5}) e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Scomponi $5$ da $1875$ .

$5 (375) \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 375 \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$375 \cdot 2 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $375$ per $2$ .

$750 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di $2.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Scomponi $2.5$ da $- 2.5$ .

$750 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.3.2

Scomponi $2.5$ da $5$ .

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$750 e^{- 1 \cdot 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$750 e^{- 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$750 \frac{1}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.7

$750$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{750}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.8

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$\frac{750}{2.71828182} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.9

Dividi $750$ per $2.71828182$ .

$275.90958087 - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 9.1.10

Elimina il fattore comune di $2.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.10.1

Scomponi $2.5$ da $- 2.5$ .

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}}$

Passaggio 9.1.10.2

Scomponi $2.5$ da $5$ .

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

Passaggio 9.1.10.3

Elimina il fattore comune.

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

Passaggio 9.1.10.4

Riscrivi l'espressione.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Passaggio 9.1.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.11.1

Elimina il fattore comune.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Passaggio 9.1.11.2

Riscrivi l'espressione.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$275.90958087 - 1500 e^{- 1}$

Passaggio 9.1.13

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$275.90958087 - 1500 \frac{1}{e}$

Passaggio 9.1.14

$- 1500$ e $\frac{1}{e}$ .

$275.90958087 + \frac{- 1500}{e}$

Passaggio 9.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$275.90958087 - \frac{1500}{e}$

Passaggio 9.1.16

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$275.90958087 - \frac{1500}{2.71828182}$

Passaggio 9.1.17

Dividi $1500$ per $2.71828182$ .

$275.90958087 - 1 \cdot 551.81916175$

Passaggio 9.1.18

Moltiplica $- 1$ per $551.81916175$ .

$275.90958087 - 551.81916175$

Passaggio 9.2

Sottrai $551.81916175$ da $275.90958087$ .

$- 275.90958087$

Passaggio 10

$t = \frac{2}{5}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{2}{5}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = \frac{2}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{2}{5}$ nell'espressione.

$A (\frac{2}{5}) = 300 (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Scomponi $5$ da $300$ .

$A (\frac{2}{5}) = 5 (60) (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 11.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$A (\frac{2}{5}) = 5 \cdot (60 (\frac{2}{5})) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 11.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$A (\frac{2}{5}) = 60 \cdot 2 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $60$ per $2$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Passaggio 11.2.3

Elimina il fattore comune di $2.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Scomponi $2.5$ da $- 2.5$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 (- 1) (\frac{2}{5})}$

Passaggio 11.2.3.2

Scomponi $2.5$ da $5$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

Passaggio 11.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

Passaggio 11.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Passaggio 11.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Passaggio 11.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1}$

Passaggio 11.2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 11.2.7

$120$ e $\frac{1}{e}$ .

$A (\frac{2}{5}) = \frac{120}{e}$

Passaggio 11.2.8

La risposta finale è $\frac{120}{e}$ .

$y = \frac{120}{e}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$ .

$(\frac{2}{5}, \frac{120}{e})$ è un massimo locale

Passaggio 13