Calcolo Esempi

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{1}{4} x) - \cot (a n \cdot 5 x) d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (a n \cdot (5 x)) d x$

Passaggio 1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $a n$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 3

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{4} d x$ , quindi $4 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{4}$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 4) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \cdot 4 d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 6.3

Sposta $4$ alla sinistra di $\sin (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 2 \int 4 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 7

Poiché $4$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\tan (x) + C + 2 (4 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\tan (x) + C + 8 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \cos (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (5 a n x) d x$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = 5 a n x$ . Allora $d u_{2} = 5 a n d x$ , quindi $\frac{1}{5 a n} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = 5 a n x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $5 a n x$ .

$\frac{d}{d x} [5 a n x]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $5 a n$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 a n x$ rispetto a $x$ è $5 a n \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 a n \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 a n \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 a n$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (u_{2}) \frac{1}{5 a n} d u_{2}$

Passaggio 12

$\cot (u_{2})$ e $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \frac{\cot (u_{2})}{5 a n} d u_{2}$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{5 a n}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{5 a n}$ fuori dall'integrale.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - (\frac{1}{5 a n} \int \cot (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 14

L'integrale di $\cot (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{1}{5 a n} (\ln (| \sin (u_{2}) |) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica.

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{1}{5 a n} \ln (| \sin (u_{2}) |) + C$

Passaggio 15.2

$\ln (| \sin (u_{2}) |)$ e $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{4}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 a n x$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{1}{4} x) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$