Calcolo Esempi

$5^{x} + 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5^{x} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 5^{x} \ln (5) + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5^{x} \ln (5) + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $\ln (5)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5^{x} \ln (5)$ rispetto a $x$ è $\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$\ln (5) (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3

Eleva $\ln (5)$ alla potenza di $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.4

Eleva $\ln (5)$ alla potenza di $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5^{x} {\ln (5)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $5^{x} \ln^{2} (5)$ e $0$ .

$f'' (x) = 5^{x} \ln^{2} (5)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $\ln^{2} (5)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5^{x} \ln^{2} (5)$ rispetto a $x$ è $\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$\ln^{2} (5) (5^{x} \ln (5))$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\ln^{2} (5)$ per $\ln (5)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Sposta $\ln (5)$ .

$\ln (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\ln (5)$ per $\ln^{2} (5)$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Eleva $\ln (5)$ alla potenza di $1$ .

$\ln^{1} (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Passaggio 3.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\ln (5)}^{1 + 2} \cdot 5^{x}$

Passaggio 3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori di $\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$ .

$f''' (x) = 5^{x} \ln^{3} (5)$