Calcolo Esempi

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ come ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 1.1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 1.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Passaggio 1.1.9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.1.10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Passaggio 1.1.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1.12.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

Passaggio 1.1.12.2

$x$ e $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.12.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.12.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.12.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.12.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.12.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.12.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.12.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13

Semplifica.

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Passaggio 1.1.13.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.13.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.13.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.1.13.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.1.13.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.1.13.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 1.1.13.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

Passaggio 1.1.13.3.2

Semplifica.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

Passaggio 1.1.13.3.3

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

Passaggio 1.1.13.3.4

Sposta $2^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.13.3.5

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.13.3.5.1

Sposta $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

Passaggio 1.1.13.3.5.2

Moltiplica $2^{- \frac{1}{2}}$ per $2$ .

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Passaggio 1.1.13.3.5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

Passaggio 1.1.13.3.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

Passaggio 1.1.13.3.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

Passaggio 1.1.13.3.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

Passaggio 1.1.13.3.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 1.1.13.3.6

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 1.1.13.3.7

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $2^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2^{\frac{1}{2}}$ fuori dall'integrale.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

$2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2.2

Sposta $2^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

Passaggio 7

Riordina i termini.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$