Calcolo Esempi

$y = \frac{{(x^{3} + 4)}^{5}}{3 x^{4} - 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x^{3} + 4)}^{5}$ e $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4)}^{5}] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{3} + 4$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} + 4$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 4$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Sposta $5$ alla sinistra di $3 x^{4} - 2$ .

$\frac{5 \cdot (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + 0) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2}) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.11.1

Somma $12 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3})}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(15 (3 x^{4}) + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ da $(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Scomponi ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ da $(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Scomponi ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ da $- 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3

Scomponi ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ da ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $15$ per $3$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $15$ per $- 2$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 12 \cdot 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 48) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{3} x - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.3.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x \cdot x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

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Passaggio 4.2.3.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{1} x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{1 + 3} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{4} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $12 x^{4}$ da $45 x^{4}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (33 x^{4} - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Scomponi $3$ da $33 x^{4} - 30 - 48 x$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Scomponi $3$ da $33 x^{4}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.5.2

Scomponi $3$ da $- 30$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.5.3

Scomponi $3$ da $- 48 x$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.5.4

Scomponi $3$ da $3 (11 x^{4}) + 3 (- 10)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.5.5

Scomponi $3$ da $3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10 - 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2.6

Riordina i termini.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} \cdot 3 (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$\frac{3 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{4} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$