Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x}$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Passaggio 2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Passaggio 3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $\frac{π}{4}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{2}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{\frac{π}{2}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Passaggio 6.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Passaggio 6.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Passaggio 6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sin (\frac{π \cdot 2 - π}{4}) \frac{2}{π}$

Passaggio 6.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$\sin (\frac{2 \cdot π - π}{4}) \frac{2}{π}$

Passaggio 6.5.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Passaggio 6.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Passaggio 6.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Passaggio 6.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2} \frac{1}{π}$

Passaggio 6.8

$\sqrt{2}$ e $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Forma decimale:

$0.45015815 \dots$