Calcolo Esempi

$3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2} = 2 y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d y} (2 y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 x^{2} y^{2}$ rispetto a $y$ è $5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$6 x x' + 5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]))$

Passaggio 2.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))$

Passaggio 2.3.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x'))$

Passaggio 2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x'))$

Passaggio 2.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x')$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$6 x x' + 10 (x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x' = 2$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $10 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x x' + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 x x'$ da $6 x x' + 10 y^{2} x x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 x x'$ da $6 x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 x x'$ da $10 y^{2} x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 x x'$ da $2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2})$ .

$2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 x (3 + 5 y^{2})$ ciascun termine in $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 x (3 + 5 y^{2})$ ciascun termine in $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ .

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $3 + 5 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 10 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Scomponi $x$ da $- 5 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (3 + 5 y^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{(3 + 5 y^{2}) x}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(3 + 5 y^{2}) x$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{1 - 5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Sposta $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 (x \cdot x) y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$