Calcolo Esempi

${(4 x + y)}^{4} = 3 y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(4 x + y)}^{4}) = \frac{d}{d x} (3 y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 4 x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + y$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y') = 3 y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + 4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y') = 3 y'$

Passaggio 5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$4 {(4 x + y)}^{3} (4 + y') = 3 y'$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 {(4 x + y)}^{3} \cdot 4 + 4 {(4 x + y)}^{3} y' = 3 y'$

Passaggio 5.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 {(4 x + y)}^{3} + 4 {(4 x + y)}^{3} y' = 3 y'$

Passaggio 5.1.4.2

Riordina i fattori in $16 {(4 x + y)}^{3} + 4 {(4 x + y)}^{3} y'$ .

$16 {(4 x + y)}^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} = 3 y'$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $3 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 {(4 x + y)}^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Usa il teorema binomiale.

$16 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$16 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$16 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.3

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$16 (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$16 (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.5

Moltiplica $16$ per $3$ .

$16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.2.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}) + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 (64 x^{3}) + 16 (48 x^{2} y) + 16 (12 x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.4.1

Moltiplica $64$ per $16$ .

$1024 x^{3} + 16 (48 x^{2} y) + 16 (12 x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.4.2

Moltiplica $48$ per $16$ .

$1024 x^{3} + 768 (x^{2} y) + 16 (12 x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.4.3

Moltiplica $12$ per $16$ .

$1024 x^{3} + 768 (x^{2} y) + 192 (x y^{2}) + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.5

Rimuovi le parentesi.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' {(4 x + y)}^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.6

Usa il teorema binomiale.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.7.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.3

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.5

Moltiplica $16$ per $3$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 3 (4 x) y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.7.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}) - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.8

Applica la proprietà distributiva.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 y' (64 x^{3}) + 4 y' (48 x^{2} y) + 4 y' (12 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.9.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 \cdot 64 y' x^{3} + 4 y' (48 x^{2} y) + 4 y' (12 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.9.2

Moltiplica $48$ per $4$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 \cdot 64 y' x^{3} + 192 y' (x^{2} y) + 4 y' (12 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.9.3

Moltiplica $12$ per $4$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 4 \cdot 64 y' x^{3} + 192 y' (x^{2} y) + 48 y' (x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.2.2.10

Moltiplica $4$ per $64$ .

$1024 x^{3} + 768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = 0$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $1024 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$768 x^{2} y + 192 x y^{2} + 16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $768 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$192 x y^{2} + 16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y$

Passaggio 5.3.3

Sottrai $192 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 y^{3} + 256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $16 y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $256 y' x^{3} + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $256 y' x^{3}$ .

$y' (256 x^{3}) + 192 y' x^{2} y + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $192 y' x^{2} y$ .

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + 48 y' x y^{2} + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $48 y' x y^{2}$ .

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + 4 y' y^{3} - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da $4 y' y^{3}$ .

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) - 3 y' = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $y'$ da $- 3 y'$ .

$y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.4.6

Scomponi $y'$ da $y' (256 x^{3}) + y' (192 x^{2} y)$ .

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.4.7

Scomponi $y'$ da $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y) + y' (48 x y^{2})$ .

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2}) + y' (4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.4.8

Scomponi $y'$ da $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2}) + y' (4 y^{3})$ .

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 3 = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.4.9

Scomponi $y'$ da $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3) = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$

Passaggio 5.5

Dividi per $256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3$ ciascun termine in $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3) = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3$ ciascun termine in $y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3) = - 1024 x^{3} - 768 x^{2} y - 192 x y^{2} - 16 y^{3}$ .

$\frac{y' (256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3)}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} = \frac{- 1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(1024) x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{(768) x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.1.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{(192) x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} + \frac{- 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1024 x^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 1024 x^{3} - 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2

Scomponi $256 x^{2}$ da $- 1024 x^{3} - 768 x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.2.1

Scomponi $256 x^{2}$ da $- 1024 x^{3}$ .

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x) - 768 x^{2} y}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2.2

Scomponi $256 x^{2}$ da $- 768 x^{2} y$ .

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x) + 256 x^{2} (- 3 y)}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2.3

Scomponi $256 x^{2}$ da $256 x^{2} (- 4 x) + 256 x^{2} (- 3 y)$ .

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x - 3 y)}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{256 x^{2} (- 4 x - 3 y) - 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Scomponi $64 x$ da $256 x^{2} (- 4 x - 3 y) - 192 x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1

Scomponi $64 x$ da $256 x^{2} (- 4 x - 3 y)$ .

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x - 3 y)) - 192 x y^{2}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2.1.2

Scomponi $64 x$ da $- 192 x y^{2}$ .

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x - 3 y)) + 64 x (- 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2.1.3

Scomponi $64 x$ da $64 x (4 x (- 4 x - 3 y)) + 64 x (- 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x - 3 y) - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{64 x (4 x (- 4 x) + 4 x (- 3 y) - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 x \cdot x + 4 x (- 3 y) - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 x \cdot x + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.5.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.5.1.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 (x \cdot x) + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{64 x (4 \cdot - 4 x^{2} + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2.5.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$y' = \frac{64 x (- 16 x^{2} + 4 \cdot - 3 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.2.5.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$y' = \frac{64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3} - \frac{16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2}) - 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.1

Scomponi $16$ da $64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2}) - 16 y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.1.1

Scomponi $16$ da $64 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})) - 16 y^{3}}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.1.2

Scomponi $16$ da $- 16 y^{3}$ .

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})) + 16 (- y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.1.3

Scomponi $16$ da $16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2})) + 16 (- y^{3})$ .

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2} - 12 x y - 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{16 (4 x (- 16 x^{2}) + 4 x (- 12 x y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 x (- 12 x y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.3.2.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 (x \cdot x) (- 12 y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 x (- 3 y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.3.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x \cdot x^{2} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 (x^{2} x) + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.4.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 (x^{2} x^{1}) + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x^{2 + 1} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.4.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$y' = \frac{16 (4 \cdot - 16 x^{3} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.4.2

Moltiplica $4$ per $- 16$ .

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} + 4 x^{2} (- 12 y) + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.4.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} + 4 \cdot - 12 x^{2} y + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.4.4

Moltiplica $4$ per $- 12$ .

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} - 48 x^{2} y + 4 \cdot - 3 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.4.4.5

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$y' = \frac{16 (- 64 x^{3} - 48 x^{2} y - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.5.1

Scomponi $- 1$ da $- 64 x^{3}$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3}) - 48 x^{2} y - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.5.2

Scomponi $- 1$ da $- 48 x^{2} y$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3}) - (48 x^{2} y) - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (64 x^{3}) - (48 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y) - 12 x y^{2} - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.5.4

Scomponi $- 1$ da $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y) - (12 x y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.5.5

Scomponi $- 1$ da $- (64 x^{3} + 48 x^{2} y) - (12 x y^{2})$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2}) - y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.5.6

Scomponi $- 1$ da $- y^{3}$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2}) - (y^{3}))}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.5.7

Scomponi $- 1$ da $- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2}) - (y^{3})$ .

$y' = \frac{16 (- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}))}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.5.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.5.8.1

Riscrivi $- (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})$ come $- 1 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})$ .

$y' = \frac{16 (- 1 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3}))}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 5.5.3.5.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 (64 x^{3} + 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + y^{3})}{256 x^{3} + 192 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4 y^{3} - 3}$