Calcolo Esempi

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Passaggio 5.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 6

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 7

Metti in evidenza $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 8

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 9

Semplifica.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Passaggio 10

Sia $u = \sec (t)$ . Allora $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u = \sec (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Passaggio 10.1.2

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 11

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Passaggio 13

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 14

Semplifica.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$