Calcolo Esempi

$x \cos (π x) + \sin (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \cos (π x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x \cos (π x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (π x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$x (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $π$ per $1$ .

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\cos (π x)$ per $1$ .

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) + \cos (x)$

Passaggio 4

Riordina i termini.

$- π x \sin (π x) + \cos (π x) + \cos (x)$