Calcolo Esempi

$2 y e^{y^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y e^{y^{2}}$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = e^{y^{2}}$ .

$2 (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y^{2}$ .

$2 (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$2 (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 6

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Somma $1$ e $1$ .

$2 (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{y^{2}}$ .

$2 (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 10

Moltiplica $e^{y^{2}}$ per $1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}})$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + 2 e^{y^{2}}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$

Passaggio 11.3

Riordina i termini.

$4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$

Passaggio 11.4

Riordina i fattori in $4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$