Calcolo Esempi

${(x^{3} + 3 y)}^{6} = x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3 y)}^{6}) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x^{3} + 3 y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 3 y$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Dividi per $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ ciascun termine in $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Dividi per $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ ciascun termine in $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ .

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune di ${(x^{3} + 3 y)}^{5}$ .

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Passaggio 5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi $3 x^{2} + 3 y'$ per $1$ .

$3 x^{2} + 3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Passaggio 5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}}{3}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Per scrivere $- 3 x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2} \cdot \frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.2

$- 3 x^{2}$ e $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} + \frac{- 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.2.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 6 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.2.4.2

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$y' = \frac{\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.3.3.4

Moltiplica $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 5.3.3.4.1

Moltiplica $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \cdot 3}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$