Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) \sqrt{2 \sin^{2} (x) - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = \sin (x)$ . Allora $d u_{1} = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {u_{1}}^{3} \sqrt{2 {u_{1}}^{2} - 1} d u_{1}$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{1} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2})}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.5

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(\sqrt{2} \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.5.2

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{2} \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{1} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.6.5

Calcola l'esponente.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{4} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 (2)} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot 2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.9.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.1.9.2

Dividi $\sec^{2} (t)$ per $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t)} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.2.1.2

$\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} d t$

Passaggio 3.2.1.3

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} d t$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} d t$

Passaggio 3.2.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Passaggio 3.2.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{{\sqrt{2}}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 3.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica $\frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}}$ per $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t) (\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Passaggio 3.2.3.4

Moltiplica $\sec^{3} (t)$ per $\sec (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.4.1

Sposta $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Passaggio 3.2.3.4.2

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{3} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.4.2.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Passaggio 3.2.3.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{{\sec (t)}^{1 + 3} (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Passaggio 3.2.3.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

Passaggio 3.2.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{8}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) \sqrt{2} \tan^{2} (t)}{2 \sqrt{8}} d t$

Passaggio 4

Poiché $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2

Riscrivi ${\sec (t)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (t)$ come $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = \tan (t)$ . Allora $d u_{2} = \sec^{2} (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = \tan (t)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Passaggio 7.1.2

La derivata di $\tan (t)$ rispetto a $t$ è $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Passaggio 7.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Passaggio 7.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 7.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u_{2} = \tan (t)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 7.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} (1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Moltiplica $(1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica ${u_{2}}^{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 9.2

Moltiplica ${u_{2}}^{2}$ per ${u_{2}}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{4}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1})$

Passaggio 13

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1}$ e $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ per $1$ e per $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.4

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.5

Per scrivere $\frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.6

Per scrivere $\frac{1}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.7.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.7.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.7.3

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{5 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.7.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5 + 3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.9

Somma $5$ e $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.11

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

Passaggio 14.2.12

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0))$

Passaggio 14.2.13

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + 0))$

Passaggio 14.2.14

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - 0)$

Passaggio 14.2.15

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} + 0)$

Passaggio 14.2.16

Somma $\frac{8}{15}$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \cdot \frac{8}{15}$

Passaggio 14.2.17

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ per $\frac{8}{15}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{2 \sqrt{8} \cdot 15}$

Passaggio 14.2.18

Moltiplica $15$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{30 \sqrt{8}}$

Passaggio 14.2.19

Sposta $8$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{30 \sqrt{8}}$

Passaggio 14.2.20

Elimina il fattore comune di $8$ e $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.20.1

Scomponi $2$ da $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{30 \sqrt{8}}$

Passaggio 14.2.20.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.20.2.1

Scomponi $2$ da $30 \sqrt{8}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Passaggio 14.2.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

Passaggio 14.2.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{8}}$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 15.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 15.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 (2 \sqrt{2})}$

Passaggio 15.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{30 \sqrt{2}}$

Passaggio 15.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{30 \sqrt{2}}$

Passaggio 15.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Scomponi $2$ da $30 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Passaggio 15.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

Passaggio 15.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Passaggio 15.5

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

Passaggio 15.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{15}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{15}$

Forma decimale:

$0.1\overline{3}$