Calcolo Esempi

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (5 x^{2})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$\frac{1}{5 x^{2}}$ e $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Scomponi $x$ da $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

$5$ e $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.6.2

$\frac{2}{x}$ e $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.6.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.6.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.8

Moltiplica $\ln (5 x^{2})$ per $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \ln (5 x^{2})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.6

$10$ e $\frac{1}{5 x^{2}}$ .

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.7

$\frac{10}{5 x^{2}}$ e $x$ .

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.8

Elimina il fattore comune di $10$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Scomponi $5$ da $10 x$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2}$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.9

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.10

$2$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4}{x} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{4}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$