Calcolo Esempi

$\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{3}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{10} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

$5$ e $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.5

$\frac{15}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.6

Elimina il fattore comune di $15$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Scomponi $5$ da $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{4}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

$4$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.5

$\frac{12}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Scomponi $2$ da $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6.2.4

Dividi $6 x^{3}$ per $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $6 x$ da $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $6 x$ da $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $6 x$ da $12 x^{2}$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $6 x$ da $6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $6 x$ da $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $6 x$ da $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi ${(x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{3}{10}$ per $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $\frac{3}{10} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

$\frac{3}{10}$ e $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

Passaggio 4.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

Passaggio 4.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

Passaggio 4.3.2.2.4

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

Passaggio 4.3.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Passaggio 4.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Somma $- 3$ e $10$ .

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

Passaggio 4.3.2.4.3

Sottrai $10$ da $7$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

Passaggio 4.3.2.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

Passaggio 4.3.2.5

La risposta finale è $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ è $(- 1, - \frac{3}{10})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, - \frac{3}{10})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $6$ per $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $12$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $6$ per $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 7.986$ e $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $6.6$ da $6.534$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.066$ .

$- 0.066$

Passaggio 6.3

Per $- 1.1$ , la derivata seconda è $- 0.066$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.6

$3$ e $\frac{- 1}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.9

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.11

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.14

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.14.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.14.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.15.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 7.2.1.15.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 7.2.1.15.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Passaggio 7.2.1.15.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 7.2.1.16

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

Passaggio 7.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scrivi $3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

Passaggio 7.2.2.4

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

Passaggio 7.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 7.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Somma $- 3$ e $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

Passaggio 7.2.5.2

Sottrai $12$ da $9$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 7.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Passaggio 7.3

Per $- \frac{1}{2}$ , la derivata seconda è $- 0.75$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 1, 0)$ .

Decrescente su $(- 1, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $12$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $6$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $0.006$ e $0.12$ .

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $0.126$ e $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.726$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.726$ .

$0.726$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.726$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 10