Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3

Dividi $2 x^{2} + 5$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 3.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Passaggio 3.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

Passaggio 3.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} + 0 + 2$

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

Passaggio 3.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
									+	$3$

Passaggio 3.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 7.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$