Calcolo Esempi

$\int \tan^{4} (5 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 5 x$ . Allora $d u_{1} = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 5 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \tan^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Passaggio 2

$\tan^{4} (u_{1})$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int \tan^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{5} \int {\tan (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\tan (u_{1})}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\frac{1}{5} \int {(\tan^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Passaggio 5

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (u_{1})$ come $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int {(- 1 + \sec^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{1}{5} \int 1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u) d u_{1}$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$ come $\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$ .

$\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$

Passaggio 8.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) (5 x) + \sec^{4} (u) (5 x)) + C$

Passaggio 8.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) \cdot 5 x + \sec^{4} (u) \cdot 5 x) + C$