Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{x^{3}}{2} d x + \int - \cos (3 x) d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int x^{3} d x + \int - \cos (3 x) d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \cos (3 x) d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 7

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 8

$\cos (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 10

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{3} (\sin (u) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$