Calcolo Esempi

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Passaggio 4

Sia $u = y + 2$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = y + 2$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $y$ in $u = y + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Passaggio 4.3

Somma $- 1$ e $2$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $y$ in $u = y + 2$ .

$u_{upper} = 0 + 2$

Passaggio 4.5

Somma $0$ e $2$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola $\frac{1}{2} y^{2}$ per $0$ e per $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Passaggio 7.2

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.5

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.6

$\frac{2}{3}$ e $2^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.7.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.7.4

Somma $2$ e $3$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.3.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 7.3.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 7.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Passaggio 7.3.11

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Passaggio 7.3.12

Per scrivere $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.3.13

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.3.13.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.3.13.3

Moltiplica $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.13.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Passaggio 7.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Passaggio 7.3.15

Sposta $2$ alla sinistra di $2^{\frac{5}{2}} - 2$ .

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Passaggio 8.2

Scomponi $- 1$ da $2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Passaggio 8.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Passaggio 8.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 9.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 9.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 9.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 9.2.6

Somma $2$ e $5$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

Passaggio 9.4

Somma $3$ e $4$ .

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Forma decimale:

$0.71895141 \dots$

Passaggio 11